Глава 4. Системы счисления  

Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью цифр, то есть символов, имеющих определенные количественные значения.

Другое определение, система счисления – совокупность приемов наименования и записи чисел.

Выделяют следующие системы счисления:

-   унарная;

-   позиционная;

-   непозиционная.

Примеры систем счисления

Непозиционная система счисления

В непозиционных системах счисления каждая цифра имеет одно и тоже значение независимо от положения в записи числа (значение знака не зависит от того места, которое он занимает числе).

Унарной непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу.

Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.

Запись чисел в непозиционной системе счисления осуществляется по следующим правилам:

-   если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой

Пример: (IV: 1 < 5, следовательно, 5 – 1 = 4, ХL: 10 < 50, следовательно, 50 — 10 = 40);

-   если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются

Пример: (VI: 5 + 1 = 6, VIII: 5+1+1+1=8, XX: 10+10 = 20).

Позиционная система счисления

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Основанием системы счисления называется количество различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления.

Позицией называется место каждой цифры в числе.

Число в системе счисления с основанием P равно:

A_nA_n-1A_n-2 … A₁A₀,A_-1…A_-s  = А_n*Pⁿ + A_n-1*P^n-1 + ... + A₁*P¹ + А₀*P⁰ + A_-1*P^-1 + А_-2*P^-2 + ... А_-s*P^-s,

где нижние индексы – определяют месторасположение цифры в числе n и s  - количества разрядов для записи целой и дробной части числа соответственно.

Примеры:

-   Десятичная система

23,43₁₀= 2*10¹ + 3*10⁰ + 4*10^-1 + 3*10^-2

692₁₀ = 6* 10² + 9*10¹ + 2

-   Двоичная система

1101₂= 1*2³ + 1*2²+0*2¹+ 1*2⁰

-   Восьмиричная система

341,5₈ =3*8²+ 4*8¹ +1*8⁰ +5*8^-1

-   Шестнадцатеричная система

A1F,4₁₆ = A*16² + 1*16¹ + F*16⁰ + 4*16^-1

N_max=Pⁿ-1 – максимальное целое число, которое может быть представлено в n разрядах.

N_min=P^-s – минимальное значащее число (не равное 0), которое можно записать в s разрядах дробной части.

Всего можно записать N=P^n+s разрядных чисел.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления – позиционная система счисления с основанием 2, цифры 0 и 1.

Преимущества:

1.     Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы.

2.     Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и скорость работы.

3.     Простота создания таблиц сложения и умножения.

Восемь бит дают 256 различных комбинаций включенных и выключенных состояний: от "выключено" (00000000) до "включено" (11111111).

A= A_n*2ⁿ + A_n-1 *2^n-1 + ... + A₁ *2¹ + A₀*2⁰, A_i  = 0 / 1

Таблица сложения:

Таблица умножения:

Преобразование двоичных чисел в десятичные

или 1*2⁰+1*2¹+0*2²+0*2³+1*2⁴+1*2⁵ = 51 (2⁰=1, 2¹=2).

Преобразование десятичных чисел в двоичные

Рисунок 13 - Преобразование десятичных чисел в двоичные

75₁₀ = 1 001 011₂

Восьмеричная система счисления

Восьмиричная система счисления – позиционная система счисления с основанием 8, цифры от 0 до 7.

Таблица сложения для восьмеричной системы счисления

Таблица умножения для восьмеричной системы счисления

Двоичное, десятичное и шестнадцатеричное представления

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую в общем случае осуществляется по следующим правилам.

Правило 1. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q заключается в последовательном нахождении остатков от деления числа x на основание Q, при этом процесс продолжается до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания Q. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием P, т.е. основание Q должно также быть выражено в системе счисления с основанием P.

Остатки от деления должны быть выражены цифрами системы счисления с основанием Q.  Представление искомого числа в системе счисления с основанием Q получается выписыванием последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.

Правило 2. Перевод числа x из системы счисления основанием P в систему счисления с основанием Q осуществляется путем представления числа х по степеням основания P. Все вычисления выполняются в системе счисления с основанием Q, т. е. основание P и цифры исходного числа должны также быть выражены в системе счисления с основанием Q.

На практике такой порядок перевода чисел используется при переводе десятичную систему счисления.

23Е₁₆ = ?₁₀ = 2*16²+3*16¹+ Е*16⁰ = 574₁₀

1078₈ = 1*8³+0*8²+7*8¹+6*8⁰ = 574₁₀

Правило 3. Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по Триадам.

Правило 4. Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и наоборот переводится по тетрадам. Например, 23E₁₆ = 0010 0011 1101₂.

Пример: Перевести число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Рисунок 14 - Перевод 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆.

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Как правило, это происходит через промежуточный перевод в десятичную систему: 

O,Y_p → O,Y₁₀; O,Y₁₀ → O,Y_q.

Шаг 1

O,Y_p → O,Y₁₀

Если основание СС – p, простая дробь содержит n цифр и b_k – цифры дроби (1 ≤ k ≤ n, 0 ≤ b_k ≤ p^-1), то она может быть представлена в виде  суммы:                               

 O,Y_p =  ∑ b_k p^-k

Пример: 0,011₂ =0*2^-1+1*2^-2+1*2^-3=0,375₁₀

Шаг 2

O,Y₁₀ → O,Y_q

1.     Умножить исходную дробь в десятичной СС на p, выделить целую часть – она будет первой цифрой новой дроби, отбросить дробную часть;

2.     Для оставшейся дробной части операцию умножения с выделением целой и дробной частей повторять, пока в дробной части не останется 0, или не будет достигнута желаемая точность. Появляющиеся при этом целые будут цифрами новой дроби;

3.     Записать дробь в виде последовательности цифр после ноля с разделителем в порядке их появления в п.1 и 2.

Пример:

0,375₁₀→ O,Y₂                

       0, 375*2 = 0, 750

       0, 75*2   = 1, 50

       0, 5*2     = 1 , 0

0,375₁₀  = 0,011₂

Формы представления чисел

Формы представления чисел:

-   С фиксированной точкой (естественная форма).

-   С плавающей точкой (нормализованный вид).

С фиксированной точкой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной. Пример: 0,25; -10,44; +0,9781

Пример: Диапазон чисел (N) в системе счисления с основанием Р при наличии m разрядов в целой части и S разрядов в дробной (без учета знака числа) будет:

P^-S ≤ N ≤  Р^m - P^-S

Например, при р=2, m=10 и S=6  получаем 0,015 ≤ N ≤ 1024.

Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки и дальнейшее вычисления теряют смысл.

Число Х₁₀ называется нормализованным, если оно представлено в виде

Х₁₀ =±М₁₀*10^±К ,

где М₁₀ – мантисса, 0,1≤ М₁₀< 1, К-порядок, целое положительно десятичное число.

Пример: -1234₁₀= -0,1234*10⁴, 0,003=0,3*10^-2

При нормализации выполняется деление числа на 4 составляющих: знак числа, мантисса, знак порядка, порядок.

Для произвольной системы счисления.

Х_р =± М_р*P^±К ,  Р^-1 ≤ М< 1